共通テストまであと５日となりました。
今回も共通テストの出題範囲(ⅠA～ⅡB)から２次試験対策にも役立つ問題を用意いたしました。
整数問題からの出題です。中学生でも解答可能なので、数学に自信のある中学生・高校１年生も是非じっくり考えてみて下さい！
チャレンジ問題３：ａ,ｂ,ｃはいずれも２以上の整数で、ａ≦ｂ≦ｃであるとする。
ａｂｃ＝２ａ＋３ｂ＋７ｃ－３が成り立つようなａ,ｂ,ｃの組をすべて求めよ。
解答にその人の数学力がそのまま表れるような問題になっていると思います。
今回も若干難易度は下げてはいますが、満点を取れる人とほぼ０点の人に二極化するのではないかと思います。
解答は明日の記事で発表いたします。是非じっくりと考えてみて下さい。
昨日の問題の解答を発表いたします。
以下問題の再掲です
チャレンジ問題２：1から8までの番号が書かれたカードが１枚ずつある。
これらのカードを区別のつかない３つの袋に分けて入れる。
(１)１枚もカードが入らない袋があってもよいものとするとき、分け方は全部で何通りあるか。
(２)どの袋にも１枚以上のカードが入っているような分け方は全部で何通りあるか。
今回も画像にて解答掲載いたします。
場合の数の問題を解くにあたって、「ものに区別を付けるか付けないか」ということは前提条件であり、細心の注意を払う必要があります。
今回の問題は「分割問題」といわれるもので、そのなかでも区別のあるカードを区別の無い袋に入れるというケースです。
分割問題には他にも区別の無い８個の球を区別のある３つの袋に入れる・・・などのパターンがあります。
ものに区別を付けるか付けないか、器に区別を付けるか付かないかで、全部で４つのパターンがあります。
この問題は箱(器)に区別が無いケースであり、この場合は「一旦器に区別を付けて数えた上で、後で区別を無くし重複を取り除く」というテクニックを用います。
このテクニックは普段の学習で十分に理解し定着させたうえで、本番ではすぐに適用できる状態にしておかなければなりません。初見では恐らく厳しいです。
一方で確率の問題では原則として「全てのものを区別して考える」という方法を取ります。これは「同様な確からしさ」を確保することで確率の定義が使える状態にすることが理由です(詳しくはまた改めて説明いたします)。
ともかく、場合の数を過不足なく数える技術は確率分野、さらには数学全分野、他の理系科目にも役立つものなので、確実に習得しておきたいところです。
受験生の皆さん勉強おつかれさまです。
ついに共通テスト10日前となりましたが追い込みは順調でしょうか。
今回もまた共通テストの出題範囲から問題を用意しました。
場合の数からの出題で、今回は何と小学生でも解答可能となっています！
算数が得意な中学受験生も是非チャレンジしてみて下さい！
チャレンジ問題２：1から8までの番号が書かれたカードが１枚ずつある。
これらのカードを区別のつかない３つの袋に分けて入れる。
(１)１枚もカードが入らない袋があってもよいものとするとき、分け方は全部で何通りあるか。
(２)どの袋にも１枚以上のカードが入っているような分け方は全部で何通りあるか。
場合の数を過不足なく数えること、またそのためのテクニックは確率の理論にも直結する極めて重要事項です。
「和の法則」「積の法則」「余事象の利用」の三大原則(厳密には“余事象の利用”はただのテクニックで原則ではありませんので二大原則です)がしっかり身についているか、この問題を通して確認してみましょう。
解答は明日の記事にて発表いたします。
今日は昨日の問題の解答を発表いたします。
まずは問題の再掲です↓
チャレンジ問題１：一辺の長さがａである正四面体Ａについて、Ａの各辺(６つの辺全て)に接する球の半径Ｒ₀を求めよ。
早速解答です↓
★正四面体に対して立方体を外接させてから考える
これは非常に有名かつ有効なテクニックで、この問題に対しては特に絶大な威力を発揮します。
また、以下のテクニックも極めて有名です(昔東大京大はじめ難関大で頻出したようです)。
★等面四面体については直方体を外接させてから考える
“等面四面体”とは４つの面が全て合同な四面体のことで、もし等面四面体の問題が出題されたなら(空間ベクトルの問題を解いていたら題の四面体が実は等面四面体だったとことに気付くケースもしばしばあります)、このテクニックを使えば確実かつ簡単に解くことができます。
等面四面体の体積は当然のこと、等面四面体の外接球の半径まで簡単に求まります！
ちなみに等面四面体については以下のことが知られています。
◎４つの面が合同な鈍角三角形の等面四面体は存在しない
◎４つの面が合同な直角三角形の等面四面体は存在しない
⇒(すなわち)鋭角三角形の等面四面体しか存在しない
これもすべて上記のテクニックで簡単に証明できます(ただし記述の仕方を間違うと０点答案になってしまいます)。京大の過去問でもそのまま出ています。
詳しくはまた後日取り扱います。
さて、余談ですが・・・
今回のチャレンジ問題は意識して難度をかなり抑えました(中学生でも理解できるよう、超典型問題を選びました)。
本当は以下のように出題ようと考えてました↓↓
チャレンジ問題１+α：一辺の長さがａである正四面体Ａの各辺(６つの辺全て)に接する球をＳとする。球Ｓの内部かつ正四面体Ａの外部である部分の体積を求めよ。
難度がかなり高いですが、これを20分以内に解ける人は理三以外どの大学でも即合格です。
詳細な解答は省略しますが、概要だけ説明します。
上記の画像も参照すると、求める図形は正四面体Ａの４つの面からそれぞれポコッと出ている部分となることが分かると思います。
この４つの出っ張りはどれも同じ図形であることも感覚的に分かると思います(正四面体Ａの重心と球Ｓの中心は一致しているからです)。
この出っ張った図形は球を一つの平面で切ったときに出来る帽子のような形で「球欠」というものです。
球欠の体積を求めること自体は(積分)軸を上手く設定(断面が円になるように)すれば極めて容易で、あとは積分範囲をしっかり把握できればすぐに答えに行きつきます。
この問題、頻出でもおかしくないのに出題されないな～と思っていたら・・・先日発見しました。７年くらい前に京都府立医科でほぼ同じ問題が出題されていました。
解けた受験生はかなりのアドバンテージになったのではないかと思います(そもそも京府医の数学はそんな問題ばかりですが・・・)。
今日はここまでとします。
解けていなくてもあまり気にしなくていいと思います。
引き続き頑張っていきましょう！
あけましておめでとうございます。
受験生の皆さんは共通テスト対策も大詰めの時期かと思います。
そこで、今回は共通テストの出題範囲(ⅠA～ⅡB)から共通テスト対策にも２次試験対策にも有効な問題を用意してみました。
中学生でも解答可能な問題となっていますので、数学に自信のある中学生・高校１年生も是非チャレンジしてみて下さい！
チャレンジ問題１：一辺の長さがａである正四面体Ａについて、Ａの各辺(６つの辺全て)に接する球の半径Ｒ₀を求めよ。
ある程度学習が進んでいる受験生にとっては定番の問題ですが、もし初見であればじっくり考えてみて下さい。
解答は明日の記事で書きます。
今年は皆さんどうもありがとうございました。
開設して２ヶ月足らずのブログではありますが、既に多くの方々に訪問して頂き嬉しい限りです。
さて、早速来年の話で恐縮ですが、受験生(およびご父兄)の皆様の応援を目的としたあるプロジェクトを温めておりまして、来年度の受験シーズン開始とともに始動すべく目下準備中です。
まず、公式アカウント(登録無料)を作成しこちらのブログで発表させて頂きますので楽しみにお待ちください。
今年度受験生の皆さんは体調管理を第一に、受験でベストが尽くせるよう最終調整頑張ってください！このブログでも有益な情報を配信しサポートしてまいります。
ではみなさんよいお年を・・・
「理三病」「京医病」
これは僕が受験生の時によく耳にしていたワードです。
周囲に少なからずいました。
定義についてですが、箸にも棒にもかからない実力であるにも関わらず、他大学の事や周囲の冷たい視線など歯牙にもかけず、憧れの東大理三(京大医学部)合格を夢見て長年の浪人を重ねてしまう「疾患」(またはそのような人物)を指した用語だったかと思います。
受験生だった僕はなぜ理三(京医)じゃないとダメなのか、何が彼らをそこまで駆り立てているのか、全く理解できませんでした。
なぜこの話をしようと思ったかというと、実は当時予備校で見かけたことのある「その疾患」の方がその5年後に悲願を達成したという後日談があるからです。
東大理三・京大医学部のどちらに合格したかは伏せておきますが、予備校で見かけていた時も決して若くはなく、他人ごとながら行く末を案じていたのですが、大願成就して本当に嬉しそうにしているその方を見て、僕がその時感じた事を書きます。
①思考は現実化するという因果の法則は本当にあるんだなということ
②大学合格を究極の目標にしていると仮に合格してもその後の人生設計に重大な支障が生じうるということ
①については割とどうでもいい話です。
成功者は無意識であれ意識的にであれ当たり前のように実践していますし。
問題は②についてです。その方がその後どうなったかは分かりません(順当に行けば医師になっていると思いますしそう願います)が、一般論として大学医学部合格など医師への最初の関門に過ぎず、例え旧帝医学部であれそこを究極の目標にしているといろんな意味で身動きが取れなくなってしまうのではないかということです。
まあ合格するだけ御の字なんでしょうが、それにしてもその後のモチベーション形成が困難であったのではないかと推測できます。
理三病・京医病とはつまるところ、合格の可能性(極めて低いのは確実ですが・・・)に関わらずその志望校についての視野狭窄から人生設計そのものに大きな支障が生じてしまっている状態(病態)であるように思います。
ふと思い出したもので何となく書き留めておきました。
皆さんの志望校への合格を心より祈ります。
