近大医後期：数学予想問題４(解答付き)

【近大医後期予想問題：４問目】

医学部受験生ならびにご父兄の皆様こんにちは。

医学部受験も終盤に差し掛かってきました。

国公立大学の前期試験も迫ってきており、私大医専願国公立医併願問わずかなり緊張感をもって対策に臨まれてるのではないでしょうか。

この直前期にあたり、とりわけ近畿大学医学部の後期対策として、何か受験生の力になれたらと考え、オリジナルの予想問題を作ってみました。

問題は５～１０題出題する予定です(解答含め近大医本番３日前までに完結させます)。

各年の近大医推薦・前期・後期の問題の傾向(頻出分野やクセ)を分析したうえで、それらを平均化したような問題となっております。

作問はすべて私のオリジナルですが、どこかで解いたような雰囲気の問題となっています(そのように意識して作っています)。

そのまま的中するかは分かりませんが、用いるテクニック(解法)や出題の方向性くらいは当たるように本気で作ってみました。

また他大学(国立含む)の入試問題で的中する可能性もあると思うので、近大医に限らず国公立医学部や大阪医科後期を受験される方も是非チャレンジしてみてください！

有意義な演習となるはずです。(⇐ここまで定型文)

さて本日は４問目を出題いたします。

今回についても(直前期のため)問題と解答を同時に公開しております。

解答については紙に手書したものを画像で貼っておりますので見づらいかもしれませんがご了承願います。

では早速問題といきましょう。

今回の問題も答え(結果)のみでよいものとします。制限時間は25分です。

第４問：ＡＢ＝ｘ,ＢＣ＝７,ＡＣ＝３ｘ－７ である三角形ＡＢＣがある。以下の設問に答えよ。

(１)ｘのとり得る値の範囲を求めよ。

(２)三角形ＡＢＣの面積をＳとする。Ｓをｘの式で表せ。

(３)三角形ＡＢＣの内接円の半径をｒとする。ｒのとり得る最大値およびそのときのｘの値を求めよ。

(４)三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとする。Ｒｒの値が素数でかつ三角形ＡＢＣの

３辺の長さが全て自然数なるときのＲの値を求めよ。

では以下解答を貼ります⇓

近大医後期数学予想問題：４問目解答

(４)については、ｘのとり得る値の範囲が 7/2＜ｘ＜7 であることおよびＡＢ＝ｘが

自然数であることから、ｘ＝4,5,6 に絞り込み、それら各々について外接円の半径Ｒ,

内接円の半径ｒを求め、Ｒｒが素数となるものを探していくという方法もあります。

結果のみを記入する形式の問題では答えさえあっていればよいので、このような方針

も場合のよっては極めて有効となります。

近大医入試まで残り４日となりました。

明日は予想問題のラストとして、微分積分の重要テクニックを網羅した創作問題を発表いたします。

かなり重厚ですが直前演習に最適な良問に仕上がっております。

楽しみにしていてください！

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近大医後期：数学予想問題３(解答付き)

【近大医後期予想問題：３問目】

お待たせいたしました。

本日は近大医後期数学の予想問題３問目を発表いたします。

その前に、先日公開した予想問題の２問目の解答(画像)に若干の不備がございましたので、(ただの数字の書き間違いで容易に判別可能なミスに過ぎませんが)訂正しておきます。

今回の問題はオリジナルではありますが、多くの先生方が出題を予想していたと思われる題材です。

そして既に今年度複数の私大医学部で出題されております。

もちろん近大医学部後期でも出題される可能性があります。

今回は結果(数値)のみを答える形式としております。

制限時間は15分とします。

では問題です⇓

第３問：次の文の〔　　〕に当てはまる適当なものを答えよ。

(１)ａ²－ｂ²＝2021 を満たす自然数の組(ａ,ｂ)をすべて挙げると〔    ア    〕である。

(２)ある感染症の検査があり、感染している被験者が陽性と判定される確率が79％であり、感染していない被験者が陰性と判定される確率が97％であるとする。

大阪府の住民から無作為に選ばれた十分に多い被験者にこの検査を行ったところ、8.7%の被験者において陽性と判定された。

このとき大阪府におけるこの感染症の罹患率(かかっている人の割合)は〔    イ　〕であり、また検査で陽性と判定されたときに実際に感染している確率は〔    ウ    〕であると推定することができる。

では以下解答です(少し間隔を空けます。) 

【解答】〔　ア　〕(1011 , 1010)  (45 , 2)   〔  イ  〕3/40　〔  ウ  〕79/116 

(１)ａ²－ｂ²＝2021 を変形すると (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝2021＝43・47〔⇐積の形に変形〕

ここでａ²－ｂ²＞0 よりａ²＞ｂ² よって ａ＞ｂ ∴ ａ＋ｂ＞ａ－ｂ＞0

したがって、(ａ＋ｂ,ａ－ｂ)＝( 2021 , 1 ) , ( 47 , 43 ) に絞り込める。

これらを解くと、(ａ,ｂ)＝( 1011 , 1010 ) , ( 45 , 2 ) が得られる。

(２)大阪府における罹患率をｐ(0＜ｐ＜1) とする。

このとき、無作為に選ばれた被験者の8.7%が陽性となったという結果から、

ｐ×79/100＋(1－ｐ)×3/100＝8.7/100 〔⇐感染なしの陽性の存在も忘れずに！〕　

よって 79ｐ＋3(1－ｐ)＝8.7 ∴ ｐ＝3/40 (答)

ここで感染していてかつ検査で陽性となる被験者の割合は ｐ×79/100＝237/4000

また検査結果が陽性となる被験者の割合は 8.7/100＝348/4000

したがって、求める「条件付き確率」は 237/348＝79/116 (答)

(※) 今年の年号２０２１についての整数的特徴

2021＝43・47 と素因数分解されることおよび2021＝45²－2² のように平方数の差の形で表されることは覚えておいた方がいいです。

(※) 検査の確率については今年度の近大医学部推薦入試で出題されました。

問い方をほんの少し変えて出題してみました。この問題は絶対に正答出来るようにしてください。

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近大医後期：数学予想問題２(解答付き)

【近大医後期予想問題：２問目】

医学部受験生ならびにご父兄の皆様こんにちは。

医学部受験も終盤に差し掛かってきました。

国公立大学の前期試験も迫ってきており、私大医専願国公立医併願問わずかなり緊張感をもって対策に臨まれてるのではないでしょうか。

この直前期にあたり、とりわけ近畿大学医学部の後期対策として、何か受験生の力になれたらと考え、オリジナルの予想問題を作ってみました。

問題は５～１０題出題する予定です(解答含め近大医本番３日前までに完結させます)。

各年の近大医推薦・前期・後期の問題の傾向(頻出分野やクセ)を分析したうえで、それらを平均化したような問題となっております。

作問はすべて私のオリジナルですが、どこかで解いたような雰囲気の問題となっています(そのように意識して作っています)。

そのまま的中するかは分かりませんが、用いるテクニック(解法)や出題の方向性くらいは当たるように本気で作ってみました。

また他大学(国立含む)の入試問題で的中する可能性もあると思うので、近大医に限らず国公立医学部や大阪医科後期を受験される方も是非チャレンジしてみてください！

有意義な演習となるはずです。(⇐ここまで定型文)

今日は２問目の出題です。

今回は問題と解答を同時に公開しております(１日半ほど更新が出来ないため)。

問題解答共に紙に手書したものを画像で貼っております。

ではまずは問題から(画像が不鮮明かもしれませんがご了承ください)

近大医後期数学予想問題：２問目

今回も「記述問題」として出題しています。解答過程も書いてみて下さい。制限時間は30分(出来れば25分で解いてください)。

さて、今回は解答も一緒に公開致します。

以下、解答となります。

 　　　　　　　　 　　近大医後期数学予想問題：２問目解答

今回の難易度は標準レベルです。

ただし、内容的に盛りだくさんで解き応えがあったと思います。

まずは二項係数と整数問題を融合した創作問題(その年の年号を絡めるのは近大お決まりのパターンなので意識してみました)

それから近大医学部は桁数・小数首位に関する問題をよく出題するため、これも絡めて出題しました。

今回記事のアップを急いだのも、本番での出題可能性が高く、一刻も早く問題を見て解いて頂きたかったからです。

解けても解けなくても復習しておくことを強く勧めます。

次回の予想問題は約２日後に、ただし２問同時に公開させて頂く予定です。

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近大医後期：数学予想問題１(解答)

昨日出題いたしました近大医後期数学予想問題１の解答・解説を書いてまいります。

まず初めに問題の再掲です↓ 

第１問：隣り合う２桁の自然数Ａ,Ｂ(ただしＡ＜Ｂとする)を用いて、４桁の自然数

ＡＢ、ＢＡを作り、これをそれぞれＮ(Ａ,Ｂ)、Ｎ(Ｂ,Ａ)と表す。

例えば、(Ａ,Ｂ)＝(13,14)のとき、Ｎ(Ａ,Ｂ)＝1314、Ｎ(Ｂ,Ａ)＝1413である。

(１)Ｎ(Ｂ,Ａ)－Ｎ(Ａ,Ｂ)＝99であることを示せ

(２)Ｎ(Ａ,Ｂ)は101で割ると１余ることを示せ。

(３)Ｎ(Ａ,Ｂ)のうち、47で割り切れるものをすべて求めよ。

答えについてはＮ(Ａ,Ｂ)＝7778、8586・・・のように書くこと。

【解答】

(１)Ａ,Ｂ(Ａ＜Ｂ)は隣り合う２桁の自然数、Ｎ(Ａ,Ｂ)およびＮ(Ｂ,Ａ)は４桁の自然数

であるから、Ｂ＝Ａ＋１、10≦Ａ≦98・・・①　が成り立つ。

《⇑問題の条件・設定を数式で表す。これは数学の問題を解くにあたっての基本中の基本です。簡単なようですが、国語力とは少し違う意味での“読解力”を要します》

∴ Ｎ(Ａ,Ｂ)＝100Ａ＋Ｂ＝100Ａ＋(Ａ＋１)＝101Ａ＋１・・・②

Ｎ(Ｂ,Ａ)＝100Ｂ＋Ａ＝100(Ａ＋１)＋Ａ＝101Ａ＋100・・・③

《⇑これも問題の条件・設定の数式化です。1314＝1300＋14＝13×100＋14といった認識さえ出来ればいいのですが、これが初見で出来るのが「数学的センスが(少し)ある人」というのでしょうか。もちろん出来なくても大丈夫です。経験を通して習得すればいいだけです》

②・③より、

Ｎ(Ｂ,Ａ)－Ｎ(Ａ,Ｂ)＝(101Ａ＋100)－(101A＋１)＝99(証明終)

(２)②より明らかにＮ(Ａ,Ｂ)は101で割ると１余る(証明終)

(３)〈(２)の結果より〉101Ａ＋１＝47ｍ・・・(※) を満たす自然数Ａ,mの組(ただし、

10≦Ａ≦98)を全て求めればよい。

(※)を変形すると47ｍ－101Ａ＝１・・・(＊)

一次不定方程式(＊)の特殊解について、以下のようにユークリッドの互除法を適用し、

これを遡っていくことで、(ｍ,Ａ)＝(43,20) が得られる。

101＝47・2＋7　　　　　　　　

47＝7・6＋5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7＝5・1＋2

5＝2・2＋1

　⇓      ⇓

1＝5－2・2

  ＝5－(7－5・1)・2

  ＝5・3－7・2〈⇐途中で検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉

  ＝(47－7・6)・3－7・2

  ＝47・3－7・20 〈⇐ここでも検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉

  ＝47・3－(101－47・2)・20

  ＝47・43 －101・20〈⇐当然最後でも検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉

47ｍ－101Ａ＝１

47・43－101・20＝1

これらを辺々引くと、47(ｍ－43)－101(Ａ－20)＝0 が得られる。

すなわち 47(ｍ－43)＝101(Ａ－20)

ここで47と101は互いに素であるから、

ｍ－43＝101ｋ　Ａ－20＝47ｋ(ただしｋは整数)と表せる。

よって、(ｍ,Ａ)＝(101ｋ＋43 , 47ｋ＋20)(ｋは整数)

また、①より10≦Ａ≦98 であるから、10≦47ｋ＋20≦98

したがって、ｋ＝0,１に絞り込める。すなわち、Ａ＝20,67に絞り込める。

以上から、求める答えは Ｎ(Ａ,Ｂ)＝2021, 6768 

【出題(作問)意図】

近大だけでなく多数の国公立私立大学医学部で近年頻出する「一次不定方程式」を

メインテーマにしていますが、少しスパイスを加えて「条件・設定の数式化」すなわち問題文の「読解」がしっかり遂行できるかを問う問題にしてみました。

難易度は標準かやや易しいくらいです。

２問目についてはすぐに公開します！

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近大医後期：数学予想問題１

医学部受験生ならびにご父兄の皆様こんにちは。

医学部受験も終盤に差し掛かってきました。

国公立大学の前期試験も迫ってきており、私大医専願国公立医併願問わずかなり緊張感をもって対策に臨まれてるのではないでしょうか。

この直前期にあたり、とりわけ近畿大学医学部の後期対策として、何か受験生の力になれたらと考え、オリジナルの予想問題を作ってみました。

問題は５～１０題出題する予定です(解答含め近大医本番３日前までに完結させます)。

各年の近大医推薦・前期・後期の問題の傾向(頻出分野やクセ)を分析したうえで、それらを平均化したような問題となっております。

作問はすべて私のオリジナルですが、どこかで解いたような雰囲気の問題となっています(そのように意識して作っています)。

そのまま的中するかは分かりませんが、用いるテクニック(解法)や出題の方向性くらいは当たるように本気で作ってみました。

また他大学(国立含む)の入試問題で的中する可能性もあると思うので、近大医に限らず国公立医学部や大阪医科後期を受験される方も是非チャレンジしてみてください！

有意義な演習となるはずです。

では１問目です。「記述問題」として出題しています。解答過程も書いてみて下さい。

第１問：隣り合う２桁の自然数Ａ,Ｂ(ただしＡ＜Ｂとする)を用いて、４桁の自然数

ＡＢ、ＢＡを作り、これをそれぞれＮ(Ａ,Ｂ)、Ｎ(Ｂ,Ａ)と表す。

例えば、(Ａ,Ｂ)＝(13,14)のとき、Ｎ(Ａ,Ｂ)＝1314、Ｎ(Ｂ,Ａ)＝1413である。

(１)Ｎ(Ｂ,Ａ)－Ｎ(Ａ,Ｂ)＝99であることを示せ

(２)Ｎ(Ａ,Ｂ)は101で割ると１余ることを示せ。

(３)Ｎ(Ａ,Ｂ)のうち、47で割り切れるものをすべて求めよ。

答えについてはＮ(Ａ,Ｂ)＝7778、8586・・・のように書くこと。

今年の前期問題の１問目と同じ題材にしています(もちろん意図的に、理由は後期本番で的中させるためです)が、内容は全く異なるので注意してください。

制限時間は20分とします。解答(およびもしかしたら２問目も)は明日発表いたします。

役に立った！とか良い問題だな～とか感じて頂けましたら、

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近畿大学・関西医科大学１次合格！

先日に引き続き私大医学部１次試験の合格実績を追加報告いたします。

近畿大学

関西医科大学

１次合格！！

おめでとうございます。２次試験の気を抜かず頑張ってほしいです。

さて、私大医学部の１次試験のひと段落したので、１次試験の合格報告については今回までといたします。

以降は正規合格あるいは補欠合格が回ってきて最終合格が確定しだい順次報告していく事といたします。

久留米大学東海大学１次合格発表

昨日2/7は久留米大学医学部と東海大学医学部の１次合格発表がありました。

追加の合格報告です。

【久留米大学】２名合格！

ありがたいことに順調に合格を量産してくれています。

今日は金沢医科大学と近畿大学の１次合格発表です(近畿大学については2/9発表ですがUCAROで前日21時に確認可能)。

さて、今年度の私大医学部入試スケジュールを見ていて思ったのですが、今年は１次試験(筆記試験)の日程重複が少ない代わりに、２次試験(面接試験)の日程重複がかなり多いです。

つまり複数の私大医学部で１次合格を持っていてもそれらの２次試験の日程が重なってしまっており、１つしか受けられないという事態も場合によっては生じてしまうということです。

２次試験の重複が最も多いのは2/13です。

何と７校も重複しています！

受験日が選択できる大学も含まれているとはいえ、これは異常です・・・。

コロナ禍で共通テストが２つの日程で実施されたほか、私大医学部でも追試験の措置が取られたりした関係でスケジュールが過密となっているので仕方がないことかもしれませんが・・・。

今年度は１次合格を複数取れても手放しに喜べない事態となっています。

日程が重なってしまった場合は、正規合格を取れる可能性の大学・補欠がたくさん回ってきそうな大学など様々な観点からしっかり戦略を練って受ける大学を選択しなければなりません。

受験指導する立場としましても責任重大で、戦々恐々です。