昨日出題いたしました近大医後期数学予想問題１の解答・解説を書いてまいります。
まず初めに問題の再掲です↓
第１問：隣り合う２桁の自然数Ａ,Ｂ(ただしＡ＜Ｂとする)を用いて、４桁の自然数
ＡＢ、ＢＡを作り、これをそれぞれＮ(Ａ,Ｂ)、Ｎ(Ｂ,Ａ)と表す。
例えば、(Ａ,Ｂ)＝(13,14)のとき、Ｎ(Ａ,Ｂ)＝1314、Ｎ(Ｂ,Ａ)＝1413である。
(１)Ｎ(Ｂ,Ａ)－Ｎ(Ａ,Ｂ)＝99であることを示せ
(２)Ｎ(Ａ,Ｂ)は101で割ると１余ることを示せ。
(３)Ｎ(Ａ,Ｂ)のうち、47で割り切れるものをすべて求めよ。
答えについてはＮ(Ａ,Ｂ)＝7778、8586・・・のように書くこと。
【解答】
(１)Ａ,Ｂ(Ａ＜Ｂ)は隣り合う２桁の自然数、Ｎ(Ａ,Ｂ)およびＮ(Ｂ,Ａ)は４桁の自然数
であるから、Ｂ＝Ａ＋１、10≦Ａ≦98・・・① が成り立つ。
《⇑問題の条件・設定を数式で表す。これは数学の問題を解くにあたっての基本中の基本です。簡単なようですが、国語力とは少し違う意味での“読解力”を要します》
∴ Ｎ(Ａ,Ｂ)＝100Ａ＋Ｂ＝100Ａ＋(Ａ＋１)＝101Ａ＋１・・・②
Ｎ(Ｂ,Ａ)＝100Ｂ＋Ａ＝100(Ａ＋１)＋Ａ＝101Ａ＋100・・・③
《⇑これも問題の条件・設定の数式化です。1314＝1300＋14＝13×100＋14といった認識さえ出来ればいいのですが、これが初見で出来るのが「数学的センスが(少し)ある人」というのでしょうか。もちろん出来なくても大丈夫です。経験を通して習得すればいいだけです》
②・③より、
Ｎ(Ｂ,Ａ)－Ｎ(Ａ,Ｂ)＝(101Ａ＋100)－(101A＋１)＝99(証明終)
(２)②より明らかにＮ(Ａ,Ｂ)は101で割ると１余る(証明終)
(３)〈(２)の結果より〉101Ａ＋１＝47ｍ・・・(※) を満たす自然数Ａ,mの組(ただし、
10≦Ａ≦98)を全て求めればよい。
(※)を変形すると47ｍ－101Ａ＝１・・・(＊)
一次不定方程式(＊)の特殊解について、以下のようにユークリッドの互除法を適用し、
これを遡っていくことで、(ｍ,Ａ)＝(43,20) が得られる。
101＝47・2＋7
47＝7・6＋5
7＝5・1＋2
5＝2・2＋1
⇓ ⇓
1＝5－2・2
＝5－(7－5・1)・2
＝5・3－7・2〈⇐途中で検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉
＝(47－7・6)・3－7・2
＝47・3－7・20 〈⇐ここでも検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉
＝47・3－(101－47・2)・20
＝47・43 －101・20〈⇐当然最後でも検算(１になるかどうか確認)をしておくこと〉
47ｍ－101Ａ＝１
47・43－101・20＝1
これらを辺々引くと、47(ｍ－43)－101(Ａ－20)＝0 が得られる。
すなわち 47(ｍ－43)＝101(Ａ－20)
ここで47と101は互いに素であるから、
ｍ－43＝101ｋ Ａ－20＝47ｋ(ただしｋは整数)と表せる。
よって、(ｍ,Ａ)＝(101ｋ＋43 , 47ｋ＋20)(ｋは整数)
また、①より10≦Ａ≦98 であるから、10≦47ｋ＋20≦98
したがって、ｋ＝0,１に絞り込める。すなわち、Ａ＝20,67に絞り込める。
以上から、求める答えは Ｎ(Ａ,Ｂ)＝2021, 6768
【出題(作問)意図】
近大だけでなく多数の国公立私立大学医学部で近年頻出する「一次不定方程式」を
メインテーマにしていますが、少しスパイスを加えて「条件・設定の数式化」すなわち問題文の「読解」がしっかり遂行できるかを問う問題にしてみました。
難易度は標準かやや易しいくらいです。
２問目についてはすぐに公開します！
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