★共通テストにも役立つ数学チャレンジ問題３(解答)
共通テストまであと４日となりました。
今日は先日出題した数学チャレンジ問題３の解答を掲載いたします。
整数問題は解答者の論証力(すなわち数学力そのもの)がそのまま答案に表れます。
満点答案とは小難しい数式(記号)や文章で埋め尽くされたものではなく、論理的に正確な思考(過程)を過不足無く表現できている答案です。
日常的に練習を積んでいけば決して難しい事ではありません。
まずは問題の再掲です。
チャレンジ問題３：ａ,ｂ,ｃはいずれも２以上の整数で、ａ≦ｂ≦ｃであるとする。
ａｂｃ＝２ａ＋３ｂ＋７ｃ－３が成り立つようなａ,ｂ,ｃの組をすべて求めよ。
以下解答です↓↓
「不等式変形による絞り込み」は整数問題を解くための最重要テクニックの一つです。
ａｂｃ＝２ａ＋３ｂ＋７ｃ－３＜２ａ＋３ｂ＋７ｃ(＋０)
のように「(邪魔な)定数部分を削る」という不等式変形と
２ａ＋３ｂ＋７ｃ≦２ｃ＋３ｃ＋７ｃ＝１２ｃ
のようにａ≦ｂ≦ｃを利用して文字を一つに統一する不等式変形を組み合わせて
ａｂｃ＜１２ｃ を導くことが最大の山場です。
ここを乗り越えられたらａｂ＜１２が得られるのでａおよびｂの組み合わせが有限に絞り込むことが出来ます(上の解答では５通りに絞り込んでいます)。
絞り込んだ後は各々のａ,ｂの組に対して与式に代入して残りのｃの値を求めて問題の条件(ａ,ｂ,ｃはａ≦ｂ≦ｃをみたす２以上の整数)との整合性を検証していけば結論に至れます。
〈上の解答のようにさらに不等式変形をして４≦ａｂを得なくても
(ａ,ｂ)＝(１,１)(１,２)(２,２)(２,３)(２,４)(２,５)(３,３)のわずか７通りに絞り込めるので労力はさほど変わりません〉
上の解答を見て頂ければ分かるように、不等式変形による絞り込みは一見簡単そうに見えるテクニック(解答を読めば容易に理解可能)なのですが、実際に自分で解くとなると、意外と難しく練習しないと中々出来るようになりません。
出来なかった方は反復して復習されることをおすすめします！
